交换积分顺序的诀窍在数形结合
为什么要改积分次序：
题面要求（交换积分次序）
次序不对，无法计算
积分法不对
？
顺口溜：
后积先定线，限内穿条线，先交下线写，后交上线见
先积 \(x\) ，画横线（平行于 \(x\) 轴）
先积 \(y\) ，画竖线（平行于 \(y\) 轴）
以下几种被积函数在交换次序后可以优化计算
\(x^{2n}e^{\plusmn x^2} dx\)
\(e^{\frac{1}{x}}dx\)
\(sin(\frac{1}{x}) dx\)
\(cos(\frac{1}{x}) dx\)
简单举例
函数图来源：https://mathinsight.org/double_integral_change_order_integration_examples
\[\int_{0}^{1} \int_{1}^{e^{y}} f(x, y) d x d y
\]
交换之后，先积 y 划竖线，上减下，则有：
\[\int_{1}^{e}\left\{\int_{\ln x}^{1} f(x, y) d y\right\} d x
\]